games101-2-Linear_algebra

线性代数

向量基础知识

向量（矢量）：方向和长度，不关心绝对开始位置，只要A和B的相对位置不变，平移后还是相同向量。

向量的长度：

单位向量（只关心方向不关心长度），将向量的每一个分量除以长度，也叫向量的标准化：

向量操作：平行四边形法则和三角形法则（三角形法则也可以适用于多个向量首尾相连）。向量相加是将每个对应的分量分别相加，相减同理。

向量的代数表示：将向量放入直角坐标系，X、Y为相互垂直的两个单位向量。用该方法向量就可以用x、y两个数表示，如下向量用4、3表示。将向量放入坐标系可以更方便的计算向量的长度。如向量（4，3）默认是过原点的。

图形学上默认向量是列向量：

列向量转置和向量的长度计算：

当把一个向量加/减/乘/除一个标量，可以简单的把向量的每个分量分别进行该运算。数学上是没有向量与标量相加运算的，但是很多线性代数的库都对它有支持。向量取反就是将每一个分量取反。

向量的点乘

两个向量的点乘结果是一个数，点乘可以快速计算两个向量的夹角。例如两个单位向量点乘的结果就是他们夹角的余弦。

点乘的性质：

点乘的代数计算（对应元素相乘，最后将所有乘积相加）：

点乘的作用：

（1）计算一个向量在另一个向量上的投影

​ b向量在a向量上的投影的方向为a向量的方向，投影的大小为||b||cosθ，所以b向量在a向量上的投影为||b||cosθa，cosθ通过a向量和b向量的点乘获得。

计算向量的投影可以对向量进行分解

（2）通过点乘结果的正负判断向量在前还是在后（方向基本一致，垂直或者相反），在图形学上通过点乘结果判断两个向量的接近程度。例如对于两个单位向量，如果这两个向量方向接近，则点乘结果接近1；如果方向垂直，点乘结果接近0；如果方向相反，点乘结果接近1.

向量的叉乘

两个向量的叉乘结果是一个新向量，该向量垂直于原来两个向量所在的平面。新向量的大小为，新向量的方向通过右手螺旋定则确定。

向量叉乘的性质如下，注意一个向量叉乘自己得到的是长度为0的向量，而不是0。两个向量的叉乘可以得到一个三维空间的坐标系（右手坐标系x叉乘y是正z是右手坐标系，opengl使用右手坐标系）:

向量叉乘的代数运算:

向量叉乘的作用:

（1）判断左右位置关系

如下在X、Y平面，判断向量b在向量a的左侧还是右侧。计算向量a叉乘向量b，如果结果为正，则向量b在向量a在左侧，即a-b是逆时针；如果结果为负，则向量b在向量a在右侧，即a-b是顺时针。

（2）判断内外

如下三角形，ABC按照逆时针顺序输入。AB叉乘AP，结果为正，点p在AB左侧；BC叉乘BP，结果为正，点p在BC左侧；CA叉乘CP，结果为正，p在CA左侧；结论p在三角形内部。如果ABC按照顺时针顺序输入，如果p在三条边右侧，则p在三角形内部。所以不管顺时针还是逆时针输入，p如果在三角形内部，p必须在三条边的同一边。在三角形光栅化时，用该方法可以判断三角形覆盖哪些像素。如果叉乘结果为0，则自定义是否在三角形内部。

在三维直角坐标系（右手坐标系）中进行向量分解

以u为例，u为单位向量，长度为1，p在u的投影为：

矩阵

N*M的矩阵：N行M列的矩阵

数学上是没有矩阵与标量相加减的运算的，但是很多线性代数的库都对它有支持。矩阵与标量之间的加减就是将矩阵中每一个元素都与标量进行加减。矩阵与矩阵之间的加减就是两个矩阵对应元素的加减运算，所以总体的规则和与标量运算是差不多的，只不过在相同索引下的元素才能进行运算。

矩阵数乘：将矩阵中的每一个数都与n相乘

矩阵乘法：NM的矩阵与MP的矩阵相乘得到N*P的矩阵，结果矩阵元素Aij由第一个矩阵第i行乘以第二个矩阵第j列获得。

矩阵乘法的性质：

矩阵与向量相乘，一般默认向量在右侧，矩阵列数与向量行数相同：

矩阵的转置：

单位矩阵和逆矩阵:

原矩阵乘以单位矩阵，相当于不对原矩阵不做任何操作.

向量的点积和叉积可以转换成矩阵乘法（向量默认为列向量）：